ASA, SAS, and SSS Criteria
Aligned to G-CO.B.8 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
The shortcut criteria follow from the rigid-motion definition of congruence. SAS: two sides and the included angle fix a triangle's shape, so a rigid motion maps one onto another with matching parts. ASA and SSS work the same way. These let you prove congruence without checking all six parts.
Worked examples
Example 1
Prove two triangles are congruent by SAS. Triangle ABC has AB = 6, angle A = 50°, AC = 8. Triangle DEF has DE = 6, angle D = 50°, DF = 8. The angle sits between the two given sides in each triangle (included angle). Place A on D and align side AB with DE; the 50° angle forces AC to align with DF, and equal lengths make B land on E and C on F. So ABC = DEF by SAS.
Example 2
Use ASA on a real measurement. Two observers stand 100 m apart on a shoreline and each measures the angle to a buoy: 65° from one, 50° from the other. Any other pair of observers with the same 100 m separation and the same two angles would form a congruent triangle, because ASA fixes the shape completely — the two angles and the side between them leave no freedom. That is why this single setup determines the buoy's position.
Example 3
Common mistake: believing SSA works. Sides 5 and 8 with a 30° angle NOT between them can close into two different triangles — the third side swings to two possible landing spots. The same is true of AAA: a 3-4-5 triangle and a 6-8-10 triangle have identical angles but are not congruent, only similar. The three criteria that work are SSS, SAS (angle BETWEEN the sides) and ASA (side BETWEEN the angles).
Practice questions
- Which criterion (ASA, SAS, or SSS) proves congruence when you know all three side lengths match?
- Two triangles share: angle = 40°, side = 5, angle = 70°, with the side between the angles. Name the criterion.
- Explain why SSA (two sides and a non-included angle) is not a valid congruence criterion.
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Criterios ALA, LAL y LLL
Los criterios abreviados se derivan de la definición de congruencia por movimientos rígidos. LAL: dos lados y el ángulo incluido fijan la forma de un triángulo, así que un movimiento rígido mapea uno sobre otro con partes coincidentes. ALA y LLL funcionan igual. Permiten demostrar congruencia sin revisar las seis partes.
Ejemplo 1: Demuestra que dos triángulos son congruentes por LAL. El triángulo ABC tiene AB = 6, ángulo A = 50°, AC = 8. El triángulo DEF tiene DE = 6, ángulo D = 50°, DF = 8. El ángulo está entre los dos lados dados en cada triángulo (ángulo incluido). Coloca A sobre D y alinea AB con DE; el ángulo de 50° obliga a AC a alinearse con DF, y las longitudes iguales hacen que B caiga en E y C en F. Así ABC = DEF por LAL.
Ejemplo 2: Usa ALA en una medición real. Dos observadores se colocan a 100 m de distancia en la orilla y cada uno mide el ángulo hacia una boya: 65° desde uno, 50° desde el otro. Cualquier otro par de observadores con la misma separación de 100 m y los mismos dos ángulos formaría un triángulo congruente, porque ALA fija la forma por completo — los dos ángulos y el lado entre ellos no dejan libertad. Por eso este único montaje determina la posición de la boya.
Ejemplo 3: Error común: creer que LLA funciona. Lados de 5 y 8 con un ángulo de 30° que NO está entre ellos pueden cerrar en dos triángulos distintos — el tercer lado cae en dos posiciones posibles. Lo mismo pasa con AAA: un triángulo 3-4-5 y uno 6-8-10 tienen ángulos idénticos y no son congruentes, solo semejantes. Los tres criterios que sí funcionan son LLL, LAL (ángulo ENTRE los lados) y ALA (lado ENTRE los ángulos).
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