Ceros de polinomios y sus gráficas
Alineada a A-APR.B.3, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Cuando un polinomio está factorizado, cada factor (x − r) da un cero en x = r, donde la gráfica cruza o toca el eje x. Marcar los ceros junto con el comportamiento en los extremos da un bosquejo aproximado.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Para p(x) = (x + 1)(x − 2)(x − 3), los ceros son x = −1, 2 y 3. Esta cúbica sube hacia la derecha, así que la gráfica cruza el eje x en cada uno de esos tres puntos.
Ejemplo 2
Para p(x) = x²(x − 4), los ceros son x = 0 (dos veces) y x = 4. En x = 4 el factor aparece una vez, así que la gráfica CRUZA el eje. En x = 0 el factor aparece dos veces, así que la gráfica TOCA y regresa. El término principal x³ es positivo, así que la curva baja en el extremo izquierdo y sube en el derecho.
Ejemplo 3
Error común: predecir el comportamiento en los extremos a partir del término constante en vez del principal. Para p(x) = −2x³ + 100, el +100 no impide que la gráfica se desplome: cuando x crece, −2x³ domina todo lo demás, así que la curva baja a la derecha. El comportamiento extremo depende de SOLO DOS cosas — el grado (par o impar) y el signo del coeficiente principal.
Preguntas de práctica
- Halla los ceros de p(x) = (x − 4)(x + 5).
- Halla los ceros de p(x) = x(x − 2)(x + 3).
- Para p(x) = (x − 1)^2(x + 2), indica dónde la gráfica toca y dónde cruza el eje x.
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