Sistemas de una recta y una parábola
Alineada a A-REI.C.7, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Resuelve un sistema de una ecuación lineal y una cuadrática por sustitución: despeja una variable en la ecuación lineal y sustitúyela en la cuadrática. Las soluciones son los puntos donde la recta se encuentra con la parábola.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Resuelve y = x^2 y y = x + 2. Sustituye para obtener x^2 = x + 2, así que x^2 − x − 2 = 0, que se factoriza como (x − 2)(x + 1) = 0, dando x = 2 o x = −1. Los puntos de intersección son (2, 4) y (−1, 1).
Ejemplo 2
Resuelve y = x² − 4x + 5 y y = 2x − 3. Sustituye: x² − 4x + 5 = 2x − 3, así que x² − 6x + 8 = 0, que se factoriza como (x − 2)(x − 4) = 0. Entonces x = 2 da y = 1, y x = 4 da y = 5. La recta corta la parábola en (2, 1) y (4, 5).
Ejemplo 3
Error común: suponer que una recta y una parábola siempre se cortan dos veces. Resuelve y = x² + 1 con y = −2: sustituir da x² = −3, que no tiene solución real — la recta pasa por completo debajo de la parábola. Y una recta tangente la toca exactamente una vez, dando una raíz repetida. El discriminante de la ecuación combinada dice en qué caso estás: positivo son dos puntos, cero es uno, negativo es ninguno.
Preguntas de práctica
- Resuelve y = x^2 y y = 4 para hallar los puntos de intersección.
- Resuelve y = x + 1 y y = x^2.
- Resuelve el sistema y = 2x − 1 y y = x^2 − 4 algebraicamente.
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