Demostrar identidades polinómicas
Alineada a A-APR.C.4, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Este es un estándar avanzado (+). Una identidad polinómica es una ecuación verdadera para todo valor de la variable. Se demuestra desarrollando cada lado hasta una forma que coincida. Identidades como (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 también describen patrones numéricos.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Demuestra (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2. Desarrolla el lado izquierdo: (x + y)(x + y) = x^2 + xy + xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2. Ambos lados coinciden, así que es una identidad.
Ejemplo 2
Demuestra (x + y)(x² − xy + y²) = x³ + y³. Distribuye: x³ − x²y + xy² + x²y − xy² + y³. Los cuatro términos centrales se cancelan por pares y queda x³ + y³. Úsalo para factorizar 8a³ + 27 = (2a)³ + 3³ = (2a + 3)(4a² − 6a + 9).
Ejemplo 3
Error común: suponer que el patrón sirve también para una suma de cuadrados. x² − y² se factoriza como (x + y)(x − y), pero x² + y² NO se factoriza en los números reales — ningún par de binomios reales lo produce. Las sumas y las diferencias de CUBOS sí se factorizan; de los cuadrados, solo la DIFERENCIA. Prueba cualquier identidad supuesta con un par de números antes de confiar en ella.
Preguntas de práctica
- Desarrolla (x − y)^2 para mostrar que es igual a x^2 − 2xy + y^2.
- Verifica la identidad (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9.
- Demuestra la identidad de la diferencia de cuadrados (x + y)(x − y) = x^2 − y^2.
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