Proving Polynomial Identities
Aligned to A-APR.C.4 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
This is a (+) advanced standard. A polynomial identity is an equation true for every value of the variable. Prove one by expanding each side to matching form. Identities like (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 also describe numerical patterns.
Worked examples
Example 1
Prove (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2. Expand the left side: (x + y)(x + y) = x^2 + xy + xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2. Both sides match, so it is an identity.
Example 2
Prove (x + y)(x² − xy + y²) = x³ + y³. Distribute: x³ − x²y + xy² + x²y − xy² + y³. The middle four terms cancel in pairs, leaving x³ + y³. Use it to factor 8a³ + 27 = (2a)³ + 3³ = (2a + 3)(4a² − 6a + 9).
Example 3
Common mistake: assuming the pattern for a sum of squares matches. x² − y² factors as (x + y)(x − y), but x² + y² does NOT factor over the real numbers — no pair of real binomials multiplies to it. Sums and differences of CUBES both factor; only the DIFFERENCE of squares does. Test any claimed identity with a single pair of numbers before trusting it.
Practice questions
- Expand (x − y)^2 to show it equals x^2 − 2xy + y^2.
- Verify the identity (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9.
- Prove the difference-of-squares identity (x + y)(x − y) = x^2 − y^2.
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Demostrar identidades polinómicas
Este es un estándar avanzado (+). Una identidad polinómica es una ecuación verdadera para todo valor de la variable. Se demuestra desarrollando cada lado hasta una forma que coincida. Identidades como (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 también describen patrones numéricos.
Ejemplo 1: Demuestra (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2. Desarrolla el lado izquierdo: (x + y)(x + y) = x^2 + xy + xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2. Ambos lados coinciden, así que es una identidad.
Ejemplo 2: Demuestra (x + y)(x² − xy + y²) = x³ + y³. Distribuye: x³ − x²y + xy² + x²y − xy² + y³. Los cuatro términos centrales se cancelan por pares y queda x³ + y³. Úsalo para factorizar 8a³ + 27 = (2a)³ + 3³ = (2a + 3)(4a² − 6a + 9).
Ejemplo 3: Error común: suponer que el patrón sirve también para una suma de cuadrados. x² − y² se factoriza como (x + y)(x − y), pero x² + y² NO se factoriza en los números reales — ningún par de binomios reales lo produce. Las sumas y las diferencias de CUBOS sí se factorizan; de los cuadrados, solo la DIFERENCIA. Prueba cualquier identidad supuesta con un par de números antes de confiar en ella.
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