Zeros of Polynomials and Their Graphs
Aligned to A-APR.B.3 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
When a polynomial is factored, each factor (x − r) gives a zero at x = r, where the graph crosses or touches the x-axis. Plotting the zeros along with the end behavior gives a rough sketch.
Worked examples
Example 1
For p(x) = (x + 1)(x − 2)(x − 3), the zeros are x = −1, 2, and 3. This cubic rises to the right, so the graph crosses the x-axis at each of those three points.
Example 2
For p(x) = x²(x − 4), the zeros are x = 0 (twice) and x = 4. At x = 4 the factor appears once, so the graph CROSSES the axis. At x = 0 the factor appears twice, so the graph TOUCHES and turns back. The leading term x³ is positive, so the curve falls on the far left and rises on the far right.
Example 3
Common mistake: predicting end behavior from the constant term instead of the leading term. For p(x) = −2x³ + 100, the +100 does not stop the graph from plunging: as x grows, −2x³ dominates everything else, so the curve falls on the right. End behavior depends on TWO things only — the degree (odd or even) and the sign of the leading coefficient.
Practice questions
- Find the zeros of p(x) = (x − 4)(x + 5).
- Find the zeros of p(x) = x(x − 2)(x + 3).
- For p(x) = (x − 1)^2(x + 2), state where the graph touches versus crosses the x-axis.
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Ceros de polinomios y sus gráficas
Cuando un polinomio está factorizado, cada factor (x − r) da un cero en x = r, donde la gráfica cruza o toca el eje x. Marcar los ceros junto con el comportamiento en los extremos da un bosquejo aproximado.
Ejemplo 1: Para p(x) = (x + 1)(x − 2)(x − 3), los ceros son x = −1, 2 y 3. Esta cúbica sube hacia la derecha, así que la gráfica cruza el eje x en cada uno de esos tres puntos.
Ejemplo 2: Para p(x) = x²(x − 4), los ceros son x = 0 (dos veces) y x = 4. En x = 4 el factor aparece una vez, así que la gráfica CRUZA el eje. En x = 0 el factor aparece dos veces, así que la gráfica TOCA y regresa. El término principal x³ es positivo, así que la curva baja en el extremo izquierdo y sube en el derecho.
Ejemplo 3: Error común: predecir el comportamiento en los extremos a partir del término constante en vez del principal. Para p(x) = −2x³ + 100, el +100 no impide que la gráfica se desplome: cuando x crece, −2x³ domina todo lo demás, así que la curva baja a la derecha. El comportamiento extremo depende de SOLO DOS cosas — el grado (par o impar) y el signo del coeficiente principal.
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