El Teorema del Residuo
Alineada a A-APR.B.2, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Para un polinomio p(x), el residuo al dividir entre (x − a) es igual a p(a). Así, evaluar el polinomio en a da rápidamente ese residuo, y si p(a) = 0 entonces (x − a) es un factor.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Sea p(x) = x^2 − 5x + 6 y divide entre (x − 2). Calcula p(2) = 4 − 10 + 6 = 0, así que el residuo es 0 y (x − 2) es un factor de p(x).
Ejemplo 2
Sea p(x) = 2x³ + x² − 8x + 5 y divide entre (x + 2). El teorema dice que el residuo es p(−2) = 2(−8) + 4 + 16 + 5 = −16 + 25 = 9. Como el residuo no es cero, (x + 2) no es factor — una sola evaluación lo resuelve, sin dividir nada.
Ejemplo 3
Error común: usar el teorema con un divisor que no es lineal. Dividir entre (x² − 1) deja un residuo que puede ser toda una expresión lineal, como 3x + 2, así que no hay un solo número p(c) que evaluar. El teorema del residuo se aplica solo a divisores de la forma (x − c). Factoriza (x² − 1) como (x − 1)(x + 1) y prueba cada parte lineal por separado.
Preguntas de práctica
- Halla el residuo cuando p(x) = x^2 + 3x − 4 se divide entre (x − 1).
- ¿Es (x + 2) un factor de p(x) = x^2 + x − 2? Usa p(−2).
- Halla p(3) para p(x) = x^3 − 2x^2 + x − 5 para obtener el residuo al dividir entre (x − 3).
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