Equivalent Forms of a Function
Aligned to F-IF.C.8 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
Writing the same function in different forms reveals different properties. Standard form shows the y-intercept, factored form shows the zeros, and vertex form shows the maximum or minimum point.
Worked examples
Example 1
Take f(x) = x^2 − 6x + 5. Factored form (x − 1)(x − 5) shows zeros at x = 1 and x = 5. Vertex form, from completing the square, is (x − 3)^2 − 4, showing the minimum point (vertex) at (3, −4).
Example 2
Read the growth rate out of an exponential. A population model P(t) = 500(1.08)^t and the rewritten form P(t) = 500(1.08^12)^(t/12) = 500(2.518)^(t/12) describe the same function. The first shows 8% growth per year; the second shows the population multiplying by about 2.5 every 12 years. Same numbers, different question answered.
Example 3
Common mistake: assuming a rewritten form has the same obvious features. In f(x) = x² − 6x + 5, the constant 5 is the y-INTERCEPT, but in the vertex form (x − 3)² − 4 the constant −4 is the MINIMUM VALUE. They are different numbers describing different things, and both are correct. Ask what feature you need — zeros, vertex, intercept — and then choose the form that displays it.
Practice questions
- Factor f(x) = x^2 − 4x − 5 to find its zeros.
- Write f(x) = x^2 + 2x + 1 in vertex form.
- What does the constant 7 reveal in f(x) = x^2 + 4x + 7?
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Formas Equivalentes de una Función
Escribir la misma función en formas distintas revela propiedades distintas. La forma estándar muestra la intersección con el eje y, la forma factorizada muestra los ceros, y la forma de vértice muestra el punto máximo o mínimo.
Ejemplo 1: Toma f(x) = x^2 − 6x + 5. La forma factorizada (x − 1)(x − 5) muestra ceros en x = 1 y x = 5. La forma de vértice, al completar el cuadrado, es (x − 3)^2 − 4, mostrando el punto mínimo (vértice) en (3, −4).
Ejemplo 2: Lee la tasa de crecimiento en una exponencial. El modelo de población P(t) = 500(1.08)^t y la forma reescrita P(t) = 500(1.08^12)^(t/12) = 500(2.518)^(t/12) describen la misma función. La primera muestra un crecimiento del 8% por año; la segunda muestra que la población se multiplica por unos 2.5 cada 12 años. Los mismos números, otra pregunta respondida.
Ejemplo 3: Error común: suponer que una forma reescrita tiene los mismos rasgos evidentes. En f(x) = x² − 6x + 5, la constante 5 es la INTERSECCIÓN con el eje y, pero en la forma de vértice (x − 3)² − 4 la constante −4 es el VALOR MÍNIMO. Son números distintos que describen cosas distintas, y ambos son correctos. Pregúntate qué rasgo necesitas — ceros, vértice, intersección — y elige la forma que lo muestre.
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