Graphing Key Features of Functions
Aligned to F-IF.C.7 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
To graph a function, identify its key features: intercepts, asymptotes, increasing or decreasing behavior, and any end behavior. Exponential graphs have a horizontal asymptote; polynomials have zeros; logs have a vertical asymptote.
Worked examples
Example 1
Graph f(x) = 2^x. The y-intercept is (0, 1) since 2^0 = 1. It passes through (1, 2) and (2, 4), and as x decreases it approaches the horizontal asymptote y = 0 without touching it. The function is always increasing.
Example 2
Graph f(x) = 1/(x − 2). The denominator is zero at x = 2, so there is a vertical asymptote at x = 2 — the curve shoots up on one side and down on the other. As x grows large the fraction shrinks toward 0, giving a horizontal asymptote y = 0. The y-intercept is f(0) = 1/(−2) = −0.5.
Example 3
Common mistake: drawing a curve through an asymptote or a hole. An asymptote is a line the graph approaches but never reaches, so f(x) = 1/(x − 2) has no point at x = 2 at all — not even a value of 0. And a factor that cancels leaves a HOLE, not an asymptote: (x² − 4)/(x − 2) simplifies to x + 2 but is still undefined at x = 2, so the line has an open circle there.
Practice questions
- State the y-intercept and asymptote of f(x) = 3^x.
- Find the zeros of f(x) = x^2 − 9 and sketch its shape.
- Describe the vertical asymptote of f(x) = log(x).
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Graficar Características Clave de Funciones
Para graficar una función, identifica sus características clave: intersecciones, asíntotas, comportamiento creciente o decreciente, y el comportamiento en los extremos. Las gráficas exponenciales tienen una asíntota horizontal; los polinomios tienen ceros; los logaritmos tienen una asíntota vertical.
Ejemplo 1: Grafica f(x) = 2^x. La intersección con el eje y es (0, 1) porque 2^0 = 1. Pasa por (1, 2) y (2, 4), y cuando x disminuye se acerca a la asíntota horizontal y = 0 sin tocarla. La función siempre es creciente.
Ejemplo 2: Grafica f(x) = 1/(x − 2). El denominador es cero en x = 2, así que hay una asíntota vertical en x = 2 — la curva se dispara hacia arriba de un lado y hacia abajo del otro. Cuando x crece, la fracción se acerca a 0, lo que da una asíntota horizontal y = 0. La intersección con el eje y es f(0) = 1/(−2) = −0.5.
Ejemplo 3: Error común: trazar la curva a través de una asíntota o de un hueco. Una asíntota es una recta a la que la gráfica se acerca sin alcanzarla, así que f(x) = 1/(x − 2) no tiene ningún punto en x = 2 — ni siquiera el valor 0. Y un factor que se cancela deja un HUECO, no una asíntota: (x² − 4)/(x − 2) se simplifica a x + 2 pero sigue indefinida en x = 2, así que la recta lleva ahí un círculo abierto.
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