Transformations of Graphs
Aligned to F-BF.B.3 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
Changing a function shifts or stretches its graph: f(x) + k moves it up k, f(x + k) moves it left k, k·f(x) stretches it vertically, and f(kx) stretches it horizontally. Inside changes affect x; outside changes affect y.
Worked examples
Example 1
Compare g(x) = (x − 2)^2 + 3 to the parent f(x) = x^2. The (x − 2) shifts the graph right 2 units, and the + 3 shifts it up 3 units. So the vertex moves from (0, 0) to (2, 3).
Example 2
Compare g(x) = −2|x + 1| to the parent f(x) = |x|. The (x + 1) shifts the graph LEFT 1 unit, the 2 stretches it vertically so it rises twice as steeply, and the minus sign reflects it across the x-axis so the V opens downward. The vertex lands at (−1, 0) and the graph has a maximum there instead of a minimum.
Example 3
Common mistake: reading the horizontal shift in the natural direction. In f(x − 3) the graph moves RIGHT 3, not left, because x must now be 3 larger to produce the same output. And a change inside the function affects x (horizontal, opposite direction), while a change outside affects y (vertical, the direction it reads): f(x) + 2 moves up 2, but f(x + 2) moves left 2.
Practice questions
- Describe how f(x) + 5 changes the graph of f(x) = x^2.
- How does f(x − 4) transform the parent function?
- Describe the effect of 3·f(x) on the graph of f(x) = x.
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Transformaciones de Gráficas
Cambiar una función desplaza o estira su gráfica: f(x) + k la sube k, f(x + k) la mueve a la izquierda k, k·f(x) la estira verticalmente, y f(kx) la estira horizontalmente. Los cambios dentro afectan a x; los cambios fuera afectan a y.
Ejemplo 1: Compara g(x) = (x − 2)^2 + 3 con la función madre f(x) = x^2. El (x − 2) desplaza la gráfica 2 unidades a la derecha, y el + 3 la desplaza 3 unidades hacia arriba. Así que el vértice se mueve de (0, 0) a (2, 3).
Ejemplo 2: Compara g(x) = −2|x + 1| con la función madre f(x) = |x|. El (x + 1) desplaza la gráfica 1 unidad a la IZQUIERDA, el 2 la estira verticalmente para que suba el doble de rápido, y el signo menos la refleja sobre el eje x, de modo que la V abre hacia abajo. El vértice queda en (−1, 0) y la gráfica tiene ahí un máximo en lugar de un mínimo.
Ejemplo 3: Error común: leer el desplazamiento horizontal en el sentido natural. En f(x − 3) la gráfica se mueve 3 a la DERECHA, no a la izquierda, porque x debe ser ahora 3 unidades mayor para dar el mismo resultado. Y un cambio dentro de la función afecta a x (horizontal, en sentido contrario), mientras que un cambio fuera afecta a y (vertical, en el sentido que se lee): f(x) + 2 sube 2, pero f(x + 2) mueve 2 a la izquierda.
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