Unit Circle and Trig Functions
Aligned to F-TF.A.2 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
On the unit circle, the point at angle θ has coordinates (cos θ, sin θ). Because angles can wind around endlessly, this lets sine and cosine be defined for every real number, not just angles in a triangle.
Worked examples
Example 1
Find cos and sin of 5π/6. This angle is in the second quadrant with reference angle π/6. There cosine is negative and sine positive, so cos(5π/6) = −√3/2 and sin(5π/6) = 1/2.
Example 2
Find tan(4π/3). This angle lies in the third quadrant, with reference angle 4π/3 − π = π/3. In the third quadrant both sine and cosine are negative, so tangent (their quotient) is POSITIVE. Since tan(π/3) = √3, tan(4π/3) = √3.
Example 3
Common mistake: applying the reference angle without checking the quadrant sign. cos(2π/3) has reference angle π/3 and cos(π/3) = 1/2, but 2π/3 sits in the second quadrant where cosine is NEGATIVE, so the answer is −1/2. The reference angle supplies the SIZE; the quadrant supplies the SIGN. Get both, in that order, every time.
Practice questions
- Give the coordinates on the unit circle at angle 0.
- Find sin and cos of π (half a turn).
- In which quadrant are both sin θ and cos θ negative?
Watch the lesson
Every lesson comes with a video taught in English and Spanish — the same video the QR code in the printed workbook opens.
▶ Watch this lessonEn español
Círculo Unitario y Funciones Trigonométricas
En el círculo unitario, el punto en el ángulo θ tiene coordenadas (cos θ, sen θ). Como los ángulos pueden girar sin fin, esto permite definir el seno y el coseno para todo número real, no solo para ángulos de un triángulo.
Ejemplo 1: Encuentra cos y sen de 5π/6. Este ángulo está en el segundo cuadrante con ángulo de referencia π/6. Allí el coseno es negativo y el seno positivo, así que cos(5π/6) = −√3/2 y sen(5π/6) = 1/2.
Ejemplo 2: Halla tan(4π/3). Este ángulo está en el tercer cuadrante, con ángulo de referencia 4π/3 − π = π/3. En el tercer cuadrante el seno y el coseno son ambos negativos, así que la tangente (su cociente) es POSITIVA. Como tan(π/3) = √3, entonces tan(4π/3) = √3.
Ejemplo 3: Error común: aplicar el ángulo de referencia sin revisar el signo del cuadrante. cos(2π/3) tiene ángulo de referencia π/3 y cos(π/3) = 1/2, pero 2π/3 está en el segundo cuadrante, donde el coseno es NEGATIVO, así que la respuesta es −1/2. El ángulo de referencia da el TAMAÑO; el cuadrante da el SIGNO. Consigue los dos, en ese orden, siempre.
More Functions lessons
Teach this lesson today
An AI tutor that guides with questions instead of just giving answers — all K–12 core subjects, every child in the family.
Start free — no card required