Building Functions from Relationships
Aligned to F-BF.A.1 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
Write a function by expressing one quantity in terms of another using the words of the problem. Often you combine simpler function types, such as multiplying two linear expressions to get a quadratic.
Worked examples
Example 1
A rectangle's length is 3 more than its width w. Write its area as a function. Length is w + 3, so area A(w) = w(w + 3) = w^2 + 3w. This combines the width and length into one quadratic function.
Example 2
A cone-shaped paper cup has height always twice its radius. Write its volume as a function of radius. Since h = 2r, V(r) = (1/3)πr²(2r) = (2/3)πr³. Substituting the relationship first turns a two-variable formula into a one-variable function, which is what makes it graphable.
Example 3
Common mistake: composing functions in the wrong order. If f(x) = x + 1 and g(x) = x², then f(g(3)) = f(9) = 10, but g(f(3)) = g(4) = 16. The notation f(g(x)) means do g FIRST — work from the inside out. Real problems care about the order too: a 20% discount then a $5 coupon is not the same total as the coupon then the discount.
Practice questions
- A number's square plus twice itself: write f(x) for this.
- A square has side s; write its perimeter and area as functions of s.
- A store's revenue is price p times quantity (100 − p): write R(p).
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Construir Funciones a partir de Relaciones
Escribe una función expresando una cantidad en términos de otra usando las palabras del problema. A menudo combinas tipos de funciones más simples, como multiplicar dos expresiones lineales para obtener una cuadrática.
Ejemplo 1: El largo de un rectángulo es 3 más que su ancho w. Escribe su área como función. El largo es w + 3, así que el área A(w) = w(w + 3) = w^2 + 3w. Esto combina el ancho y el largo en una sola función cuadrática.
Ejemplo 2: Un vaso de papel cónico tiene siempre una altura igual al doble de su radio. Escribe su volumen como función del radio. Como h = 2r, V(r) = (1/3)πr²(2r) = (2/3)πr³. Sustituir primero la relación convierte una fórmula de dos variables en una función de una sola, que es lo que la hace graficable.
Ejemplo 3: Error común: componer funciones en el orden equivocado. Si f(x) = x + 1 y g(x) = x², entonces f(g(3)) = f(9) = 10, pero g(f(3)) = g(4) = 16. La notación f(g(x)) significa hacer g PRIMERO — se trabaja de adentro hacia afuera. En problemas reales el orden también importa: un 20% de descuento y luego un cupón de $5 no da el mismo total que el cupón y luego el descuento.
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