Volúmenes de sólidos
Alineada a G-GMD.A.3, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Fórmulas de volumen: cilindro = pi*r^2*h; cono = (1/3)*pi*r^2*h; pirámide = (1/3)*área de la base*altura; esfera = (4/3)*pi*r^3. El cono y la pirámide contienen cada uno un tercio del prisma o cilindro con la misma base y altura.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Halla el volumen de un cono con radio 3 y altura 10. Usa V = (1/3)*pi*r^2*h. Sustituye: V = (1/3)*pi*(3)^2*(10) = (1/3)*pi*9*10 = (1/3)*90*pi = 30*pi. Numéricamente es unos 94.2 unidades cúbicas. Nota que es exactamente un tercio de un cilindro con la misma base y altura (90*pi).
Ejemplo 2
Halla el volumen de una esfera de radio 6. Usa V = (4/3)*pi*r³: V = (4/3)*pi*(6)³ = (4/3)*pi*216 = 288*pi, unas 904.8 unidades cúbicas. Compáralo con el cilindro que la contiene exactamente (radio 6, altura 12): pi*36*12 = 432*pi. La esfera llena exactamente dos tercios de su cilindro.
Ejemplo 3
Error común: elevar al cubo solo parte de la expresión, u olvidar la fracción. Para una esfera de radio 3, escribir (4/3)*pi*3*3 usa r² en vez de r³ y da 12*pi en lugar de 36*pi. Y quitar el (1/3) de un cono triplica la respuesta. Una comprobación rápida: un cono, una esfera y un cilindro del mismo radio y altura correspondiente están en razón 1 : 2 : 3. Si tus tres respuestas no guardan esa razón, se perdió un factor.
Preguntas de práctica
- Halla el volumen de un cilindro con radio 4 y altura 7.
- Halla el volumen de una esfera con radio 6.
- Una pirámide tiene base cuadrada de lado 5 y altura 12. Halla su volumen.
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