Principio de Cavalieri y volumen
Alineada a G-GMD.A.2, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
El principio de Cavalieri dice que dos sólidos con la misma altura tienen igual volumen si toda sección transversal horizontal al mismo nivel tiene igual área. Esto justifica fórmulas de volumen: un prisma inclinado (oblicuo) tiene el mismo volumen que uno recto, y el volumen de la esfera se puede argumentar comparando secciones transversales.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Argumenta que el volumen de un cilindro es base por altura usando Cavalieri. Compara un cilindro recto con uno inclinado con la misma base circular y altura. A cada altura, ambos tienen la misma sección transversal circular de área pi*r^2. Como las áreas de sección coinciden en cada nivel y las alturas son iguales, Cavalieri dice que los volúmenes son iguales: ambos son pi*r^2*h.
Ejemplo 2
Usa Cavalieri para obtener el volumen de una pirámide. Toma una pirámide y un cono con la misma área de base B y la misma altura h. A cualquier altura, ambas secciones se han reducido con el mismo factor de escala, así que las áreas de sección son la misma fracción de B en todos los niveles. Cavalieri obliga entonces a volúmenes iguales, y por eso la MISMA fórmula V = (1/3)Bh sirve igual para conos, pirámides cuadradas y pirámides triangulares.
Ejemplo 3
Error común: aplicar Cavalieri cuando las alturas difieren. El principio exige DOS condiciones: los sólidos deben tener la misma altura, Y cada par de secciones correspondientes debe tener igual área. Un cilindro de radio 2 y altura 10 y otro de radio 2 y altura 5 tienen secciones idénticas en cada nivel compartido, pero el más alto contiene el doble. Las rebanadas coincidentes no prueban nada si un sólido se acaba antes.
Preguntas de práctica
- Dos pilas de monedas tienen la misma altura y monedas idénticas, pero una está inclinada. ¿Por qué son iguales sus volúmenes?
- Indica qué debe ser cierto sobre las secciones transversales para que se aplique el principio de Cavalieri.
- Una esfera de radio r tiene secciones que coinciden con un sólido de cilindro-menos-cono. ¿Qué volumen da este argumento para la esfera?
Mira la lección
Esta lección tiene video en español: el mismo que abre el código QR del cuaderno impreso.
▶ Ver la lección en videoMás lecciones de Medición y Dimensión Geométrica
Enseña esta lección hoy
Un tutor con IA que guía con preguntas en lugar de solo dar las respuestas: todas las materias básicas de K–12, para cada hijo de la familia.
Comienza la prueba gratis — sin tarjeta