Problemas de diseño geométrico
Alineada a G-MG.A.3, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Los problemas de diseño piden elegir dimensiones o formas para cumplir restricciones como minimizar costo, caber en un espacio o maximizar el volumen. Plantea una ecuación a partir de la geometría, luego resuelve el valor que satisface el requisito.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Diseña una caja sin tapa con una hoja de 12 por 12 cm cortando cuadrados de lado x en cada esquina y doblando. La base queda (12 - 2x) por (12 - 2x) con altura x, así que el volumen V = x(12 - 2x)^2. Prueba x = 2: V = 2(12 - 4)^2 = 2(8)^2 = 2(64) = 128 cm cúbicos. Al probar valores se ve que x = 2 da el volumen máximo en números enteros para esta hoja.
Ejemplo 2
Diseña la lata cilíndrica más barata que contenga 355 centímetros cúbicos. La restricción es pi*r²*h = 355, así que h = 355/(pi*r²). El costo sigue al área superficial S = 2*pi*r² + 2*pi*r*h = 2*pi*r² + 710/r. Prueba valores: r = 3 da S = 56.5 + 236.7 = 293 cm²; r = 4 da S = 100.5 + 177.5 = 278 cm²; r = 5 da S = 157 + 142 = 299 cm². El mínimo está cerca de r = 4 cm.
Ejemplo 3
Error común: optimizar sin escribir la restricción. Al pedir la caja de mayor volumen a partir de una hoja de 12 por 12, alguien puede simplemente intentar agrandar x — pero x también encoge la base, y en x = 6 la base desaparece y el volumen es 0. Todo problema de diseño tiene una restricción que ata las variables; escríbela, úsala para reducir a UNA variable y solo entonces busca el mejor valor.
Preguntas de práctica
- Un corral rectangular debe tener área de 48 metros cuadrados con un lado de 6 m. Halla el otro lado.
- Tienes 20 m de cerca para un jardín rectangular. Da las dimensiones de un cuadrado que la use toda, y su área.
- Una lata cilíndrica debe contener unos 500 cm cúbicos. Si su radio es 5 cm, halla la altura requerida (usa pi como 3.14).
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