Operaciones con Funciones Racionales, Radicales e Inversas
Alineada a F-BF.B.4, de los Estándares Estatales Comunes (Common Core) de Matemáticas.
Qué enseña esta lección
Una función inversa deshace lo que hizo la función original, intercambiando entradas y salidas. Si una función suma 3, su inversa resta 3. También puedes combinar funciones al componerlas, donde la salida de una se convierte en la entrada de la siguiente.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Si f(x) = x + 3, entonces para deshacerla la inversa es f-inversa(x) = x - 3. Comprobación: f(2) = 5, y la inversa lleva 5 de regreso a 2.
Ejemplo 2
Halla la inversa de f(x) = 2x − 6. Escribe y = 2x − 6, intercambia las variables para obtener x = 2y − 6, y despeja y: x + 6 = 2y, así que y = (x + 6)/2. Comprueba componiendo: f(5) = 4, y la inversa de 4 es (4 + 6)/2 = 5. Que la composición devuelva la entrada es la prueba real.
Ejemplo 3
Error común: confundir la función inversa con un recíproco. Para f(x) = x³, la inversa es la raíz cúbica, NO 1/x³ — la notación f⁻¹ no significa un exponente −1. Y no toda función tiene inversa: f(x) = x² falla, porque f(3) y f(−3) dan ambos 9 y nada puede devolver el 9 a dos lugares a la vez. Restringe primero el dominio a x ≥ 0 y entonces la raíz cuadrada sí funciona.
Preguntas de práctica
- Encuentra la inversa de f(x) = x - 7.
- Encuentra la inversa de f(x) = 2x.
- Si f deshace a g, ¿cuánto vale f(g(4))?
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