Rational, Radical, and Function Operations
Aligned to F-BF.B.4 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
An inverse function undoes what the original function did, swapping inputs and outputs. If a function adds 3, its inverse subtracts 3. You can also combine functions by composing them, where the output of one becomes the input of the next.
Worked examples
Example 1
If f(x) = x + 3, then to undo it the inverse is f-inverse(x) = x - 3. Check: f(2) = 5, and the inverse takes 5 back to 2.
Example 2
Find the inverse of f(x) = 2x − 6. Write y = 2x − 6, swap the variables to x = 2y − 6, then solve for y: x + 6 = 2y, so y = (x + 6)/2. Check by composing: f(5) = 4, and the inverse of 4 is (4 + 6)/2 = 5. Composition returning the input is the actual test.
Example 3
Common mistake: confusing the inverse function with a reciprocal. For f(x) = x³, the inverse is the cube root, NOT 1/x³ — the notation f⁻¹ does not mean a −1 exponent. And not every function has an inverse: f(x) = x² fails, because f(3) and f(−3) both give 9 and nothing can send 9 back to two places at once. Restrict the domain to x ≥ 0 first, and then the square root works.
Practice questions
- Find the inverse of f(x) = x - 7.
- Find the inverse of f(x) = 2x.
- If f undoes g, what is f(g(4))?
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Operaciones con Funciones Racionales, Radicales e Inversas
Una función inversa deshace lo que hizo la función original, intercambiando entradas y salidas. Si una función suma 3, su inversa resta 3. También puedes combinar funciones al componerlas, donde la salida de una se convierte en la entrada de la siguiente.
Ejemplo 1: Si f(x) = x + 3, entonces para deshacerla la inversa es f-inversa(x) = x - 3. Comprobación: f(2) = 5, y la inversa lleva 5 de regreso a 2.
Ejemplo 2: Halla la inversa de f(x) = 2x − 6. Escribe y = 2x − 6, intercambia las variables para obtener x = 2y − 6, y despeja y: x + 6 = 2y, así que y = (x + 6)/2. Comprueba componiendo: f(5) = 4, y la inversa de 4 es (4 + 6)/2 = 5. Que la composición devuelva la entrada es la prueba real.
Ejemplo 3: Error común: confundir la función inversa con un recíproco. Para f(x) = x³, la inversa es la raíz cúbica, NO 1/x³ — la notación f⁻¹ no significa un exponente −1. Y no toda función tiene inversa: f(x) = x² falla, porque f(3) y f(−3) dan ambos 9 y nada puede devolver el 9 a dos lugares a la vez. Restringe primero el dominio a x ≥ 0 y entonces la raíz cuadrada sí funciona.
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