The Normal Distribution
Aligned to S-ID.A.4 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
Many data sets are bell-shaped and can be modeled by a normal distribution using the mean and standard deviation. About 68% of data falls within one standard deviation of the mean, 95% within two, and 99.7% within three.
Worked examples
Example 1
Test scores have mean 70 and standard deviation 5. About what percent score between 65 and 75? That range is one standard deviation each side of the mean, so about 68% of scores fall between 65 and 75.
Example 2
Heights of adult men are roughly normal with mean 70 inches and standard deviation 3 inches. What percent are taller than 76 inches? That is two standard deviations above the mean. About 95% lie within two standard deviations, leaving 5% in the two tails, split evenly — so about 2.5% are taller than 76 inches.
Example 3
Common mistake: using the normal model for data that is not bell-shaped. Household income is strongly right-skewed: a few very large values pull the mean well above the median, and the 68-95-99.7 rule badly misstates the tails. Before applying it, check that the data is roughly symmetric and single-peaked. Counts of rare events and strongly skewed measurements need different models.
Practice questions
- With mean 100 and standard deviation 10, give the range holding the middle 95%.
- About what percent of data lies above the mean in a normal curve?
- Scores are mean 50, sd 8: estimate the percent below 42.
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La Distribución Normal
Muchos conjuntos de datos tienen forma de campana y se pueden modelar con una distribución normal usando la media y la desviación estándar. Cerca del 68% de los datos cae dentro de una desviación estándar de la media, 95% dentro de dos, y 99.7% dentro de tres.
Ejemplo 1: Las calificaciones tienen media 70 y desviación estándar 5. ¿Aproximadamente qué porcentaje obtiene entre 65 y 75? Ese rango es una desviación estándar a cada lado de la media, así que cerca del 68% de las calificaciones cae entre 65 y 75.
Ejemplo 2: Las estaturas de hombres adultos son aproximadamente normales con media 70 pulgadas y desviación estándar 3 pulgadas. ¿Qué porcentaje mide más de 76 pulgadas? Eso está dos desviaciones estándar por encima de la media. Cerca del 95% cae dentro de dos desviaciones, lo que deja 5% en las dos colas, repartido por igual — así que alrededor del 2.5% mide más de 76 pulgadas.
Ejemplo 3: Error común: usar el modelo normal con datos que no tienen forma de campana. El ingreso de los hogares está muy sesgado a la derecha: unos pocos valores muy grandes arrastran la media bien por encima de la mediana, y la regla 68-95-99.7 describe fatal las colas. Antes de aplicarla, comprueba que los datos sean aproximadamente simétricos y de un solo pico. Los conteos de eventos raros y las mediciones muy sesgadas necesitan otros modelos.
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