Conditional Probability
Aligned to S-CP.B.6 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
The conditional probability P(A | B) is the chance of A given that B has happened. It equals the fraction of B's outcomes that are also in A, computed as P(A and B) divided by P(B).
Worked examples
Example 1
Draw one card from a deck. Find P(King | face card). There are 12 face cards, and all 4 kings are face cards. So among B's outcomes (the 12 face cards), 4 are kings: P(King | face card) = 4/12 = 1/3.
Example 2
A test for a condition is 95% accurate, and the condition affects 1 in 1,000 people. Out of 100,000 people, 100 have it and about 95 test positive; of the 99,900 without it, about 5% — 4,995 people — also test positive. So P(has it | positive) = 95/(95 + 4995) which is about 1.9%. The rarity of the condition dominates the test's accuracy.
Example 3
Common mistake: assuming P(A | B) equals P(B | A). P(is a dog | has four legs) is small, while P(has four legs | is a dog) is essentially 1 — the same two events, opposite conditions, wildly different answers. The formula is P(A | B) = P(A and B)/P(B), and the denominator is whichever event comes AFTER the bar. Swapping the bar swaps the denominator and changes the question.
Practice questions
- Roll a die: find P(6 | the roll is even).
- Of 20 students, 8 play sports and 5 of those are seniors: find P(senior | plays sports).
- Explain in words what P(rain | cloudy) means.
Watch the lesson
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Probabilidad Condicional
La probabilidad condicional P(A | B) es la posibilidad de A dado que B ya ocurrió. Es igual a la fracción de los resultados de B que también están en A, calculada como P(A y B) dividido entre P(B).
Ejemplo 1: Saca una carta de una baraja. Encuentra P(Rey | carta de figura). Hay 12 cartas de figura, y los 4 reyes son cartas de figura. Así que entre los resultados de B (las 12 cartas de figura), 4 son reyes: P(Rey | carta de figura) = 4/12 = 1/3.
Ejemplo 2: Una prueba para una condición es 95% exacta, y la condición afecta a 1 de cada 1,000 personas. De 100,000 personas, 100 la tienen y unas 95 dan positivo; de las 99,900 que no la tienen, alrededor del 5% — 4,995 personas — también dan positivo. Así que P(la tiene | dio positivo) = 95/(95 + 4995), aproximadamente 1.9%. La rareza de la condición pesa más que la exactitud de la prueba.
Ejemplo 3: Error común: suponer que P(A | B) es igual a P(B | A). P(es un perro | tiene cuatro patas) es pequeña, mientras que P(tiene cuatro patas | es un perro) es prácticamente 1 — los mismos dos eventos, condiciones opuestas, respuestas totalmente distintas. La fórmula es P(A | B) = P(A y B)/P(B), y el denominador es el evento que va DESPUÉS de la barra. Cambiar la barra cambia el denominador y cambia la pregunta.
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