Complex Numbers and the Fundamental Theorem of Algebra
Aligned to N-CN.A.1 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
The imaginary unit i is defined as the square root of negative one, which lets us solve equations that have no real solutions. A complex number has a real part and an imaginary part, and the Fundamental Theorem of Algebra says every polynomial has a full set of roots among the complex numbers.
Worked examples
Example 1
Simplify the square root of -9. Write it as the square root of 9 times the square root of -1, which is 3i.
Example 2
Simplify √(−50). Split off the negative first: √(−50) = √50 × √(−1) = √25 × √2 × i = 5i√2. Taking i out before simplifying the radical keeps the two steps from interfering with each other.
Example 3
Common mistake: leaving i under the radical or inside a denominator. Writing √(−50) as √(50i) is wrong — i multiplies the root, it does not live inside it. And an answer like 3/i is not in standard form: multiply top and bottom by i to get 3i/i² = 3i/(−1) = −3i. Standard form is always a + bi, with no i in any denominator and none under any radical sign.
Practice questions
- What does i equal?
- Simplify the square root of -16.
- Add the complex numbers (2 + 3i) and (1 + 4i).
Watch the lesson
Every lesson comes with a video taught in English and Spanish — the same video the QR code in the printed workbook opens.
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Números complejos y el Teorema Fundamental del Álgebra
La unidad imaginaria i se define como la raíz cuadrada de menos uno, lo que nos permite resolver ecuaciones que no tienen soluciones reales. Un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria, y el Teorema Fundamental del Álgebra establece que todo polinomio tiene un conjunto completo de raíces entre los números complejos.
Ejemplo 1: Simplifica la raíz cuadrada de -9. Escríbela como la raíz cuadrada de 9 por la raíz cuadrada de -1, lo que es igual a 3i.
Ejemplo 2: Simplifica √(−50). Separa primero lo negativo: √(−50) = √50 × √(−1) = √25 × √2 × i = 5i√2. Sacar la i antes de simplificar el radical evita que los dos pasos se interfieran.
Ejemplo 3: Error común: dejar la i bajo el radical o dentro de un denominador. Escribir √(−50) como √(50i) está mal — la i multiplica a la raíz, no vive dentro de ella. Y una respuesta como 3/i no está en forma estándar: multiplica arriba y abajo por i para obtener 3i/i² = 3i/(−1) = −3i. La forma estándar siempre es a + bi, sin i en ningún denominador ni bajo ningún radical.
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