Cross-Sections and Solids of Revolution
Aligned to G-GMD.B.4 — Common Core State Standards for Mathematics.
What this lesson teaches
Slicing a 3D solid with a plane produces a 2D cross-section whose shape depends on the slice's angle. Rotating a 2D shape around an axis sweeps out a 3D solid: a rectangle rotated about a side gives a cylinder, a right triangle gives a cone.
Worked examples
Example 1
What solid results from rotating a right triangle about one leg? Stand a right triangle with legs vertical and horizontal, and spin it about the vertical leg. The horizontal leg sweeps a circular base and the hypotenuse sweeps the slanted surface, producing a cone. Its radius equals the horizontal leg and its height equals the vertical leg.
Example 2
What shape is the cross-section when a plane cuts a cylinder? Slice it horizontally, parallel to the base: you get a circle the same size as the base. Slice it vertically through the axis: you get a rectangle whose width is the diameter and whose height is the cylinder's height. Slice it at a slant without hitting either base: you get an ellipse. One solid, three very different cross-sections.
Example 3
Common mistake: assuming every cross-section of a solid looks like its base. A cube sliced parallel to a face gives a square, but sliced diagonally through three corners it gives an equilateral TRIANGLE, and sliced at the right angle it can give a regular hexagon. Before naming a cross-section, picture where the plane enters and exits the solid — the answer depends entirely on the plane's direction, not just on the solid.
Practice questions
- What 2D shape is the horizontal cross-section of a cylinder?
- Rotate a rectangle about one of its sides. What solid do you get?
- A cube is sliced by a plane parallel to one face. Name the shape of the cross-section.
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Secciones transversales y sólidos de revolución
Cortar un sólido 3D con un plano produce una sección transversal 2D cuya forma depende del ángulo del corte. Rotar una forma 2D alrededor de un eje genera un sólido 3D: un rectángulo rotado sobre un lado da un cilindro, un triángulo rectángulo da un cono.
Ejemplo 1: ¿Qué sólido resulta de rotar un triángulo rectángulo sobre un cateto? Coloca un triángulo rectángulo con catetos vertical y horizontal, y gíralo sobre el cateto vertical. El cateto horizontal barre una base circular y la hipotenusa barre la superficie inclinada, produciendo un cono. Su radio es el cateto horizontal y su altura es el cateto vertical.
Ejemplo 2: ¿Qué forma tiene la sección cuando un plano corta un cilindro? Córtalo horizontalmente, paralelo a la base: obtienes un círculo del mismo tamaño que la base. Córtalo verticalmente por el eje: obtienes un rectángulo cuyo ancho es el diámetro y cuya altura es la del cilindro. Córtalo en diagonal sin tocar ninguna base: obtienes una elipse. Un solo sólido, tres secciones muy distintas.
Ejemplo 3: Error común: suponer que toda sección de un sólido se parece a su base. Un cubo cortado paralelo a una cara da un cuadrado, pero cortado en diagonal por tres esquinas da un TRIÁNGULO equilátero, y con el ángulo adecuado puede dar un hexágono regular. Antes de nombrar una sección, imagina por dónde entra y sale el plano del sólido — la respuesta depende por completo de la dirección del plano, no solo del sólido.
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